Diagramas de Cuerpo Libre

Un diagrama de cuerpo libre o diagrama de cuerpo aislado debe mostrar todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Es fundamental que el diagrama de cuerpo libre esté correcto antes de aplicar la Segunda ley de Newton:

∑F = m.a

En estos diagramas, se escoge un objeto o cuerpo y se aísla, reemplazando las cuerdas, superficies u otros elementos por fuerzas representadas por flechas que indican sus respectivas direcciones. Por supuesto, también debe representarse la fuerza de gravedad y las fuerzas de fricción. Si intervienen varios cuerpos, se hace un diagrama de cada uno de ellos, por separado. T representa la fuerza trasmitida por la cuerda; N la normal; W (mg) el peso y F la fuerza de fricción.

EJEMPLO DE CÓMO REALIZAR EL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Tenemos una piedra, que está sujetada por dos cuerdas. En este caso, en las cuerdas se genera una tensión. La piedra posee un peso que es igual a su masa por la gravedad.

Entonces el gráfico sería así:

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

1. En el sistema físico mostrado cada esfera pesa 30 N. Si la fuerza F = 40 N determinar la fuerza de interacción entre las esferas. Existe equilibrio.

2. La cuña A pesa 60 N y todas las superficies son lisas. Hallar el peso de la esfera B para el equilibrio.



3. Una viga de 60 N es mantenida en equilibrio tal como se indica en la figura. Si la tensión en la cuerda es 20√3 N, determinar la medida del ángulo q que define la posición equilibrio.

5. La esfera de la figura pesa 600 N y se mantiene en reposo en la posición presentada. Calcular la tensión en la cuerda.

6. En la figura la barra AB permanece en equilibrio y pesa 15 N. Calcular la tensión que soporta la cuerda BC y la reacción de la pared sobre la barra en el punto de apoyo.

7. La barra horizontal de la figura pesa 30 N, y está apoyada sobre un plano inclinado de 60°. Hallar las reacciones en la articulación y en el plano.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Los métodos de integración tienen como bjetivo reducir la dificultad al resolver integrales complicadas, convirtiéndolas en varias sumas cuyo cálculo resulte más sencillo.
A continuación se da ejemplos de como realizarlo:
1. ∫ (x²+3) dx = ∫ x² dx + ∫ 3 dx
2. ∫ (x+3)² dx = [ ∫ (x+3) dx] . [ ∫ (x+3) dx]
3. ∫ 3x² dx = ( ∫ 3 dx) .( ∫ x² dx )

FORMAS DE RESOLVER UNA INTEGRAL

Para resolver una integral esta debe ser su forma:

Luego si el x tiene un exponente "n" la integral es:

El valor de "x" se reemplaza por el mayor valor "b", luego se le resta con el menor valor "a".

ALGUNOS EJEMPLOS

Si queremos hallar el área de esta figura:

INTEGRALES

Iba caminando por la calle, cuando vi un grupo de personas que estaban discutiendo, me acerqué y descubrí que el problema era que no podían determinar el área de un campo deportivo, pues éste no tenía una forma rectangular, ni triangular, era más bien como una especie de figura deforme. Este dibujo lo muestra como era:

A simple vista resultaría difícil identificar el área del campo deportivo, pues en verdad lo es. Te imaginas cómo hacían las personas, mediciones de este tipo hace 100 años. Pues esta necesidad de medir áreas deformes llevó a los matemáticos antiguos a una investigación dando como resultado, lo que hoy se conoce como el estudio de la INTEGRAL. Para entender mejor vamos a dividir el gráfico en partes que se puedan medir:

Como vemos los Áreas 5, 6, 7 y 8, se pueden hallar fácilmente pues son rectángulos, también se podría hallar el Área 4 que resulta ser un triángulo, pero miremos los Áreas 1, 2 y 3, se ven realmente difíciles, y es que el proceso de solución a seguir requiere de mucho análisis. Pero antes de explicar cómo obtener esas áreas, empecemos haciendo un pequeño 'back to back' y veamos quiénes se interesaron por esto.

Sabemos que la medida del área es un problema que ha preocupado al hombre desde la antigüedad. Los egipcios, quienes vivieron hace unos 2 200 años a.c., conocían reglas para el cálculo de las áreas y los volúmenes de algunos objetos sencillos. Tenían fórmulas exactas para las áreas de los rectángulos, triángulos y trapezoides, y una fórmula incorrecta para el área de un cuadrilátero general. Daban el área aproximada de un círculo como el cuadrado de 8/9 del diámetro. Sabían cómo calcular el área el volumen de los cubos, cilindros, y el volumen de una pirámide de base cuadrada. Estas reglas pasaron de los egipcios a los babilonios, luego a los griegos, empezando con Tales (585 a.c.).

De todos los griegos, Arquímedes (250 a.c.) fue el que más se acercó al concepto moderno de área. conocía el método de acotar un área por un conjunto de rectángulos situados en el interior y un conjunto que cubría justamente el área.

Riemann basó su definición de la integral sobre esta idea. Es la integral de Riemann la que estudiaremos. Los conceptos fundamentales del cálculo, la derivada y la integral preceden a Newton (1624-1727) y Leibniz (1646-1716), pero es a estos dos hombres a quienes se les da el título de 'Los Fundadores del Cálculo'.